2024辽宁省考中国剩余定理你了解吗?

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　　在数学典籍《孙子算经》中有一个流传很广的经典问题，被后人称为“物不知数”问题：“有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是说：有一堆物体不知道有几个。如果三个三个分组，最后会剩下2个;如果五个五个分组，最后会剩下3个;如果七个七个分组，最后会剩下2个。问这些物体一共有几个?解答这样的问题其实就需要用到“中国剩余定理”，“中国剩余定理”到底是何方神圣?今天跟着江西华图教育一起来了解一下。

　　一、基本模型：

　　一个数除以a余x，除以b余y，除以c余z，求满足该条件的最小数。

　　二、特殊模型：

　　1.余同加余

　　如果两个除式的被除数相同，余数相同，那么这个被除数的值等于两个除数的最小公倍数的倍数加上余数。例如x÷3余1，x÷4余1，则x=12n+1(12是3和4 的最小公倍数)。

　　2.和同加和

　　如果两个除式的被除数相同，除数和余数的和相同，那么这个被除数的值等于两个除数的最小公倍数的倍数加上除数和余数的和。例如x÷3余2，x÷4余1，则x=12n+5(12是3和4的最小公倍数)。

　　3.差同减差

　　如果两个除式的被除数相同，除数和余数的差相同，那么这个被除数的值等于两个除数的最小公倍数减去除数和余数的差。例如x÷3余1，x除4余2，则x=12n-2(12是3和4的最小公倍数)。

　　三、方法：逐步满足法

　　解题步骤：先满足一个条件，再满足另一个条件，直到满足所有的条件。

　　【例题1】：一个数，除以5余1，除以3余2，求这个数是多少?

　　【华图解析】：满足除以5余1的数，可以表示为5n+1，从小到大依次为1,6,11,16， 21，26，……，然后再去看第二个条件是除以3余2，所以在这些数当中满足条件的最小的数是11，所以满足题目当中两个条件的数就可以表示成15n+11(15为3和5的最小公倍数)。

　　【例题2】：一个三位数的自然数P满足，除以11余4，除以7余3，除以3余2，则符合条件的自然数P有多少个?

　　【华图解析】：满足除以11余4的数，可以表示为11n+4，从小到大依次为：4，15， 26，37，48，59，70，……，然后再去看第二个条件是除以7余3，所以在这些数当中满足条件的最小的数是59，则同时满足除以11余4，除以7余3的数可以表示为77n+59(77为7和11的最小公倍数)，将满足条件的数从小到大罗列依次为：59,136,213,290， 367，……，然后再看第三个条件需满足除以3余2，所以满足条件的最小的数是59，则同时满足三个条件的数可以表示为231n+59(231为3、7、11的最小公倍数)，则符合条件的三位数为：290(n=1时),521(n=2时),752(n=3时),983(n=4时),所以符合条件的自然数P共有4个。

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